rvn

Str. 1 (Home)

OTKLONI RAVNOTEŽE U SISTEMU VIŠESTRUKE

KORELACIJE IZMEĐU VIŠE VELIČINA

(Napisao Branko Sorić 1956.; malo izmijenjeno 1964. i 2011. Nije nikada

objavljeno prije ovog današnjeg objavljivanja na Internetu 6. III. 2011.)

UVODNA NAPOMENA:

Ovdje se ne radi o nekakvoj novoj znanstvenoj teoriji ni o novim činjenicama, nego samo o jednom vrlo jednostavnom postupku, koji možda može u nekim slučajevima olakšati zaključivanje, na sličan način kao što je, na pr., lakše zbrojiti nekoliko brojeva ako ih napišemo na papiru nego ako ih zbrajamo napamet.

Ako neki biolog ili ekonomist (ili neki drugi stručnjak) nešto izračunava, sam način računanja više spada u matematiku nego u biologiju ili ekonomiju (ili dr.). Slično bi se moglo reći i o ovom načinu grafičkog prikazivanja, koji bi se možda mogao ponekad primijeniti u slučajevima, u kojima se, na pr., želi izvlačiti zaključke na temelju statistički utvrđenih pozitivnih i/ili negativnih korelacija između nekoliko veličina.

1. Korelacija i zavisnost

Svakome je poznat sistem od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice. Na pr.;

x = 2y + 3 ; x = 3y

U ovakvom sistema postoji određeno rješenje, t.j. po jedna vrijednost za x i za y, koja zadovoljava obje jednadžbe. U gornjem primjeru te vrijednosti su:

x = 9 ; y = 3

Jednadžbama (formulama) mogu se izraziti zakonitosti koje vladaju u svijetu oko nas. Sila (F) je jednaka umnošku mase (m) i akceleracije (a): F=m×a U toj formuli, ako je masa nekog predmete konstantna, veličine F i a predstavljaju dvije promjenljive nepoznanice (varijable). Između tih dviju veličine postoji vrlo točno određena međusobna zavisnost: koliko puta se poveća sila F, toliko pute će biti veća i akceleracija a. Između njih postoji, dakle, korelacija, koja je u ovom slučaju pozitivna i potpuna - a to znači: sa porastom jedne veličine raste i druga veličina (i zato se ova korelacija naziva pozitivnom, dok bi kod negativne korelacije porast jedne veličine dovodio do smanjivanja druge), a osim toga, porast jedne veličine u potpunosti je određen porastom druge veličine, pa kad bismo odgovarajuće vrijednosti obiju veličina prikazali u koordinatnom sistemu, sve bi one ležale na jednoj liniji (pravcu).

Korelacija među veličinama, što ih možemo mjeriti u našoj okolini, ne mora uvijek biti tako potpuna. Poznato je, da povećana proizvodnja dovodi do pada cijene nekog proizvoda, ali za ovu (negativnu) korelaciju ne možemo dati tako pouzdanu formulu, a točke u koordinatnom sistemu, koje bi označavale vrijednosti proizvodnje i odgovarajuće vrijednosti cijene, ne bi sve padale točno na istu liniju, nego bi bile više ili manje raštrkane oko nje. Potpuna korelacija označava se jedinicom, a odsutnost svake korelacije označava se nulom. Znatna korelacija postoji u slučaju kada je ona veća od 0,5 . Pozitivna korelacije označava se pozitivnim brojevima (na pr. +1, +0.7, +0.5), a negativna se označava negativnim brojevima (-1 , - 0.5 itd.).

Prethodno razmatranje poslužit će nam za bolje razumijevanje auto-reguliranih sistema veličina (automata). Kao primjer jednog takvog jednostavnog sistema često se navodi termostat. Grijalica termostata proizvodi toplinu i zagrijava zrak u komori termostata. Preko regulatornog mehanizma ("feed-back") povećana temperatura zraka u komori dovodi do smanjene produkcije topline u grijalici. Na taj način postiže se ravnoteža između produkcije topline (A) i temperature u komori (T). Ovo se obično objašnjava verbalno, otprilike ovako: ako se dogodi da se temperatura u komori snizi, proizvodnja topline se automatski povećava, pa se i temperatura ponovno povisuje, a ako se ona povisi previše, to dovodi do smanjenog zagrijavanja i sniženja temperature; na taj način temperatura se automatski održava konstantnom.

Matematski se to može opisati na slijedeći način: Postoji dvostruka zavisnost (i dvostruka korelacija) između prosječnog grijanja (A) i prosječne temperature u komori (T). U prvom redu, sa povećanjem prosječne vrijednosti proizvodnje topline (A) u grijalici, povećava se prosječna temperatura u komori (T). Svakoj prosječnoj vrijednosti A odgovara određena prosječna vrijednost T . Ova pozitivna korelacija između A i T mogla bi se prikazati nekom (nepoznatom) jednadžbom, a isto tako i jednom linijom u koordinatnom sistemu. S druge strane, postoji još jedna zavisnost između istih veličina, koja se sastoji u smanjivanju veličine A kada se povećava veličina T, a ta se negativna korelacija također može (teoretski) prikazati nekom jednadžbom ili linijom u koordinatnom sistemu. Realno su moguće samo one vrijednosti veličina A i T, koje su jednake rješenju toga sistema od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice (odnosno one vrijednosti koje odgovaraju sjecištu dviju linija u koordinatnom sistemu), pa će se zato uspostaviti u termostatu upravo takva ravnoteža sa tim (prosječnim) vrijednostima.

Prave jednadžbe u ovom primjeru nisu nam poznate, ali mi ćemo sada zamisliti da su spomenute dvije zavisnosti vrlo jednostavne, na pr.: A+T = k ; A =3T (k je konstanta).
Odatle nalazimo da je u ravnoteži T = k/4 , A = 3k/4 . Ono što nas sada zanima jest otklon ravnoteže, do kojega će doći, ako pomaknemo regulator termostata tako, da se kod iste temperature (T) u komori smanji proizvodnja topline (A). Pretpostavimo da pomicanje regulatora dovodi do promjene konstante k: neka se ona smanji na polovicu, tako da umjesto k možemo pisti k/2. Ponovnim rješavanjem dviju jednadžbi sa dvije nepoznanice dobivamo: T = k/8 , A = 3k/8 Odatle vidimo, da se ravnoteža otklonila na taj način, da su obje vrijednosti postale manje nego prije. Uspostavila se nova ravnoteža, u kojoj je produkcija topline kao i temperatura u komori niža nego u prethodnom stanju ravnoteže.

Ako sada zamislimo, da je došlo do oštećenja toplinske izolacije komore, te da se zbog toga toplina djelomično gubi iz komore u okolinu, tada će jednakoj produkciji topline odgovarati manja temperatura u komori. Krenimo opet od istih početnih vrijednosti; T = k/4 ; A = 3T = 3k/4. Kod iste početne vrijednosti veličine A , vrijednost od T je manja, a to će biti moguće u slučaju da se konstanta u potonjoj jednadžbi poveća: na pr.: umjesto A= 3T , imat ćemo, A = 5T . (Prva jednadžba je ostala nepromijenjena: A+T = k). Rješenje: T = k/6 (što je manje od T= k/4; A = 5k/6, što je veće od prijašnje vrijednosti A = 3k/4 .

Do istih rezultata mogli bismo doći i crtanjem linija u koordinatnom sistemu.

Međutim, budući da nam prave formule dviju korelacija između veličina A i T nisu poznate, ispravnije je, a i jednostavnije, da se ograničimo samo na ono što nam je doista poznato, a to je, da postoji jedna pozitivna i jedna negativna korelacija između tih dviju veličina.

POZITIVNU korelaciju označit ćemo punom linijom: A_____T

a NEGATIVNU ćemo označiti isprekidanom linijom: A...........T

Obje zavisnosti zajedno označit ćemo ovako: A''''''''''''' T

Kad neka zavisnost (ili dvostruka zavisnost) postoji samo između dvije promjenljive veličine, takvu zavisnost ćemo nazvati APSOLUTNOM zavisnošću. (Na pr.: A = 5×T. Tu promjenljiva vrijednost veličine A ovisi samo o promjenljivoj vrijednosti veličine T).

Ako vrijednost neke veličine (A) ovisi o vrijednostima dviju ili više promjenljivih veličina, takvu zavisnost ćemo nazvati RELATIVNOM zavisnošću. Na pr.: A = 5×T×X. Ovdje je vrijednost veličine A određena vrijednošću veličine T pod uvjetom da X ima konstantnu vrijednost. Ali, ako je X promjenljiv, onda je A određen vrijednošću od X pod uvjetom da je T konstantan.

Ako u našim shemama neku zavisnost nazovemo "apsolutnom", to ne znači da ona u stvarnosti mora doista biti apsolutna. Naime, ako smo napisali A = 5×T, moguće je da A ipak ne ovisi samo o T nego o još nekoj veličini koja nije navedena u formuli, a koju mi smatramo konstantnom. Ako smo napisali A = 5×T×X, te ako pretpostavimo da je X konstantno, onda se ta relativna zavisnost između triju veličina (A, T, X) pretvara u apsolutnu zavisnost između A i T. Ako napišemo: Y = k×X (gdje k označava konstantu), to je onda apsolutna zavisnost između X i Y. Ako se konstanta k promijeni, onda je ta zavisnost postala relativna, ali ako je k nakon promjene opet postao konstantan, onda to možemo shvatiti kao promjenu apsolutne zavisnosti.

Smjer otklona ravnoteže nakon reguliranja termostata na nižu proizvodnju topline (t.j. niži A pri istom T, dakle promjena zavisnosti A........T) možemo lako odrediti na shemi (vidi sliku 1).

Na slici 1. najprije je postojala ravnoteža pri vrijednostima A1 i T1. Zatim je došlo do pomicanja regulatora, t.j. do promjene negativne korelacije, tako da istoj vrijednosti T1 sada odgovara niža vrijednost A' . (Vertikalne linije prikazuju niz vrijednosti obiju veličina od 0 do neke visoke vrijednosti x).

Slika 1

Nakon spomenute promjene negativne korelacije, vrijednosti T1 još uvijek odgovara prijašnje vrijednost A1, ali samo prema jednoj zavisnosti (t.j. prema pozitivnoj korelaciji), dok prema promijenjenoj negativnoj korelaciji istoj toj vrijednosti T1 odgovara sada niža vrijednost A'. Veličina A morala bi, prema tome, sada imati dvije različite vrijednosti istodobno (A1 i A'), a to je nemoguće. U stanju nove ravnoteže mora postojati samo jedna vrijednost od A, kao i samo jedna vrijednost od T, koje obje međusobno odgovaraju jedna drugoj, zadovoljavajući istovremeno obje zavisnosti koje postoje među tim veličinama. Iz slike se vidi, da će ovi uvjeti biti ispunjeni onda, ako se vrijednost T1 smanjuje, jer će tada njoj odgovarati sve manje i manje vrijednosti od A prema pozitivnoj korelaciji, a sve veće i veće vrijednosti od A prema negativnoj korelaciji, t.j. vrijednost A1 će se smanjivati, a vrijednost A' će se povećavati, dok se konačno ne sastanu u istoj točki (A2) koja će ležati negdje između A1 i A', pa je zato

A2 < A1. Vrijednost T , koja se je pri tome neprekidno smanjivala, morat će, dakle, u stanju nove ravnoteže biti manja od T1 , t.j. biti će: T2 < T1 .

Na isti način mogli bismo, pomoću slične sheme, odrediti i smjer otklona ravnoteže u onom drugom slučaju, kad dolazi do oštećenja toplinske izolacije termostata i do promjene pozitivne korelacije, u tom smislu da istoj vrijednosti A1 sada odgovara manja vrijednost T '. Uspostavlja se nova ravnoteža: A2 > A1 ; T2 < T1 , kao što je prikazano na slici 2.

Slika 2

Moglo bi se navesti mnogo sličnih primjera održavanja ravnoteže pomoću povratnog djelovanja (feed-back). Povećana potražnja na tržištu za nekim proizvodom dovodi do povećanja proizvodnje (pozitivna korelacija), ali povećanjem proizvodnje dolazi do zasićenja tržišta t.j. do smanjivanja potražnje (postoji dakle i negativne korelacija između istih veličina). Mnogo primjera može se naći u biologiji i fiziologiji: Broj životinja određene vrste na određenom području stoji u ravnoteži sa količinom hrane - ako se broj životinja povećava, smanjuje se raspoloživa količina hrane (negativna korelacija), a ovo smanjivanje hrane dovodi do smanjivanja broja životinja (pozitivna korelacija). Izlučivanje raznih hormona hipofize (na pr. tireotropina, odnosno "tireoidea-stimulirajućeg hormona": TSH) stoji u ravnoteži sa izlučivanjem hormona iz drugih endokrinih žlijezda - u ovom slučaju spomenuto izlučivanje TSH ovisi o izlučivanju hormona tireoideje (štitne žlijezde), kojega ćemo označiti kao: TH. Povećano izlučivanje TSH dovodi do povećanog izlučivanja TH (stimulacija = pozitivna korelacija), a povećano izlučivanje TH inhibira izlučivanje TSH (negativna korelacija).

Ako pretpostavimo da na slici 1. slovo A označava izlučivanje TSH, a slovo T označava izlučivanje TH, tada nam ta shema ujedno prikazuje poremećaj, koji se naziva primarno-hipofiznom hipotireozom, kod kojega postoji povećana osjetljivost hipofize na inhibitorno djelovanje TH, tako da jednakom izlučivanju TH odgovara sniženo izlučivanje TSH (promjena nivoa negativne korelacije). Uspostavlja se nova ravnoteža u stanju bolesti (A2, T2), kao što se vidi na slici, pa je kod te bolesti sniženo izlučivanje i TSH i TH. - Slika 2. nam prikazuje stanje nazvano primarno-tireoidnom hipotireozom. Tu je došlo do promjene pozitivne korelacije - štitna žlijezda je postala nedovoljno osjetljiva na stimulirajuće djelovanje TSH - pa je u bolesnom stanju sniženo izlučivanje TH, ali je izlučivanje TSH sada povišeno. Sličnim shemama mogli bi se prikazati i poremećaji kod kojih je izlučivanje TH povišeno (hipertireoza). I ovdje može biti izlučivanje TSH povećano ili smanjeno, pa se govori o primarno-hipofiznoj odnosno o primarno-tireoidnoj hipertireozi.

Pomoću povratnog djelovanja održava se također ravnoteža između izlučivanja raznih drugih hormona i funkcije tkiva na koja oni djeluju, kao i ravnoteža u međusobnoj zavisnosti i funkcijama raznih drugih organa ili tkiva. Dvostruka (pozitivna i negativna) korelacija postoji između koncentracije šećera u krvi i izlučivanja inzulina, između izlučivanja parathormone i koncentracije kalcija, između količine svjetla koje ulazi u oko i širine zjenice it.d.

Uloga hormona i vegetativnog živčanog sistema u organizmu sastoji se upravo u tome da omogućavaju povratno djelovanje i održavanje ravnoteže unutar organizma kao i ravnoteže između organizma i okoline. Pa i preostali - animalni - dio živčanog sistema ima zapravo tu istu ulogu; omogućava refleksno ili svjesno reagiranje na vanjske podražaje; štetni (neugodni) podražaji pojačavaju reagiranje organizma, a ovim reagiranjem se uklanjaju ili smanjuju takva štetna djelovanja, pa i tu dakle postoji pozitivna i negativna korelacija:

oštećenje '''''''''''''' reakcija

2. Višestruka korelacija

Opisana dvostruka korelacija između dvije veličine znači samo pojednostavljenje pravog stanja stvari! U većini slučajeva radi se zapravo o višestrukoj zavisnosti između više veličina. U spomenutom primjeru ravnoteže između izlučivanja TSH i TH radi se zapravo o tome, da pojačano izlučivanje TSH dovodi do povećanja koncentracije TSH u krvi, ova povećana koncentracija TSH djeluje zatim na funkciju stanica štitne žlijezde, tom pojačanom funkcijom stanica izlučuje se više TH, što dovodi do povećanja koncentracije TH u krvi, a ovo opet izaziva smanjenu funkciju hipofize i smanjeno izlučivanje TSH. Vidimo da tu ima veći broj veličina i njihovih međusobnih zavisnosti:

funkcija hipofize (t.j. izlučivanje TSH) ___(1)___koncentracija TSH

|....(4).....koncentracija TH ___(3) __ funkcija tireoideje___(2)___|

Ovdje vidimo tri pozitivne i jednu negativnu korelaciju, odnosno ukupno četiri veličine i ćetiri njihove međusobne zavisnosti (čemu bi odgovarale 4 jednadžbe sa 4 nepoznanice). Kad bi nam bile poznate točne formule ovih zavisnosti, mogli bismo iz dvije jednadžbe eliminirati jednu, zajedničku, nepoznanicu; na pr. iz jednadžbe 1 i 2 eliminirali bismo "koncentraciju TSH", pa bismo na taj način dobili novu jednadžbu u kojoj bi bile sadržane nepoznanice "funkcija hipofize" i "funkcija tireoideje "; iz ove nove jednadžbe i jednadžbe 3 eliminirali bismo zatim "funkciju tireoideje", itd. Na taj način sistem višestruke zavisnosti se svodi na manji broj veličina i manji broj zavisnosti: nastaju "tri jednadžbe sa tri nepoznanice", pa "dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice". Zavisno od toga kojim smo redoslijedom vršili eliminaciju nepoznanica, konačni rezultat može biti:

funkcija hipofize '''''''''''''funkcija tireoideje

ili: koncentracija TSH'''''''''''''koncentracija TH

ili: funkcija hipofize'''''''''''''koncentracija TH itd.

3. Relativna zavisnost

U formuli F = m×a vidimo pozitivnu korelaciju između veličine F i a t.j.: F_____a Ova korelacija postoji samo pod uvjetom da je veličina m nepromjenljiva! Ako je, međutim, nepromjenljiva veličina F, tada je m ovisno o a, pa sada postoji negativna korelacija između m i a : m..........a (To znači: ako je konstantna sila koja djeluje na neko tijelo, tada će to tijelo dobivati tim veću akceleraciju, što mu je manja masa).

Vidimo, da između dvije veličine postoji apsolutna zavisnost samo pod uvjetom da su ostale veličine u formuli konstantne. (Ako je m promjenljivo i zavisno od a, tada F može biti konstantno - dakle postaje nezavisno od a i od m). Ukoliko konstante u formuli nisu baš uvijek nepromjenljive, nego se mogu ponekad i mijenjati, tada je zavisnost između dvije veličine samo "relativna". Ta zavisnost je određena i predvidljiva prema formuli samo tako dugo, dok se neka od konstanti ne počne mijenjati.

U tom smislu, zavisnosti u formuli F = m×a su zapravo "relativne".

Zavisnost F______ a postoji ako je m konstantno,

zavisnost F______ m postoji ako je a konstantno,

zavisnost m............. a postoji ako je F konstantno .

Mogli bismo dakle govoriti o "relativnoj" (ili uvjetnoj) zavisnosti između tri veličine, koja se sastoji od tri korelacije među njima, od koje su dvije pozitivne i jedna negativna:

F________1_______a

|___1___m........1........|

Istim brojem (1) označene su sve tri korelacije, da bi se znalo da sve pripadaju istoj relativnoj zavisnosti!

Pogledajmo sada nekoliko proizvoljno odabranih jednadžbi:

x = y+ z ; x^2 = y^2 + z ; ax =byz ; (x/y) +k = z

x + y = k - z ; xyz = ab ; x^3 +y^3 +a^2 = b/z

U gornjim formulama x, y i z su promjenljive veličine, a konstante su: a, b, k. Prema tome u svakoj od gornjih jednadžbi postoje relativna zavisnost između tri veličine: x, y i z , dakle u svakoj toj jednadžbi možemo pronaći po tri korelacije medu tim veličinama. Premda jednadžbe na prvi pogled izgledaju vrlo raznolike, s obzirom na korelacije u njima mogu se sve svrstati u samo dvije grupe:

U gornjem redu sve jednadžbe sadrže po dvije pozitivne i jednu negativnu korelaciju između veličina x, y i z.

U donjem redu sve su tri korelacije u svakoj jednadžbi negativne. Na pr.: u prvoj jednadžbi u donjem redu (x + y = k - z, gdje je k konstanta), ako je z konstantno mora se y povećavati u slučaju da se x smanjuje, da bi lijeva strane jednadžbe ostala jednaka desnoj. Isto tako, ako je x konstantno, y se smanjuje kada se z povećava. Isto vrijedi i za odnos između z i x u slučaju da je y konstantno.

Opća formula za sve jednadžbe u prvom redu bila bi:

x ________ y

|____z .........| a za one u drugom redu:

x ............... y

|....... z .......|

Ako su dvije korelacije (u slučaju zavisnosti između tri veličine) pozitivne, tada treća korelacija mora biti negativna. Ovo se može vidjeti iz slijedećeg razmatranja;

x______ y ______z

(1) (1)

U ovom primjeru postoje dvije pozitivne korelacije (pri relativnoj zavisnosti (1) između triju veličina); pita se: kakva je treća korelacija? - Uzmimo da je najprije z konstantan. Ako se x poveća, mora se povećati i y. Sada neka x ostane konstantan (t.j. povećan!), a y neka se smanji na početnu vrijednost. Pri tome se, dakle, mora smanjiti z. - Rezultat je isti, kao da se y nije ni mijenjao, nego je ostao isti kao na početku! Međutim, x je veći, a z je manji nego na početku! Prema tome, kod konstantne vrijednosti y, povećanje x dovodi do smanjivanja z , pa postoji negativna korelacija

x .............. z

(1)

Budući da treća korelacija mora biti negativna, ako su dvije pozitivne, nemoguće je da sve tri korelacije budu pozitivne!

Na isti način možemo dokazati da treća korelacija mora biti negativna i u slučaju kada su druge dvije negativne:

x...........y...........z

(2) (2)

Neka je z konstantno. Ako se x povećava, y se mora smanjivati. Sada x ostaje konstantno (povećano!). y se povećava na početnu vrijednost i uslijed toga se sada z smanjuje. Rezultat: povećano x, smanjeno z , a y je nepromijenjen (jednak početnoj vrijednosti). Zaključak: Ako sa dvije korelacije negativne, tada i treća mora biti negativna:

x............z

(2)

Budući da u ovom slučaju treća korelacija mora biti negativna, nemoguće je da ona bude pozitivna, pa je nemoguć slučaj zavisnosti koja bi se sastojala od dvije negativne i jedne pozitivne korelacije!

Postoje, dakle, samo dvije moguće kombinacije korelacija između tri veličine: dvije pozitivne i jedna negativna, ili sve tri negativne. Odatle slijedi još jedno pravilo: Ako je jedna korelacija pozitivna a druga negativna, tada treća korelacija mora biti pozitivna.

Postoje, dakle, tri pravila za određivanje treće korelacije:

Ako su dvije korelacije pozitivne: ____ ____ treća je negativna: ..........

ako su dvije korelacije negativne: ......... .......... treća je negativna: ..........

ako su kor. pozitivna i negativna: ____ ........... treća je pozitivna: _____

Prema tim pravilima možemo odrediti preostale korelacije u slučaju zavisnosti između većeg broja promjenljivih veličina, kad su neke korelacije poznate. Na pr.:

A........B_____C ........D_____E_____F

1 1 1 1 1

Odatle proizlazi, na pr.:

A_______ C_______E______F

1 1 1

ili na pr.: A_______ D.............F

1 1 itd.

(Ovo ne treba miješati sa višestrukom zavisnošću! Ovdje se radi o korelacijama, koje su komponente iste zavisnosti označene brojem 1).

Evo primjera jednadžbe, koja spada pod gornju općenitu formulu:

A+B+E = C+D+F ; ili: A×B×E = C×D×F ; itd. - Budući da se radi o relativnoj zavisnosti, jasno je da pojedine korelacije postoje samo u slučaju kada su ostale veličine konstantne. Na pr.: ova korelacija

A............B

1 postoji samo kada su konstantne veličine C, D, E, F. - Itd.

-------------------------------------------------------

(Vidi nastavak na stranici 2:

"4. Ravnoteža kod višestruke

i relativne zavisnosti")

Dr. med. Branko Sorić

Vlaška 84

10000 Zagreb

Croatia

E-mail: branko.soric(at)zg.t-com.hr